Question

【题目】如图，直线与轴交于点（），与轴交于点，抛物线（）经过，两点，为线段上一点，过点作轴交抛物线于点．

（1）当时，

①求抛物线的关系式；

②设点的横坐标为，用含的代数式表示的长，并求当为何值时，？

（2）若长的最大值为16，试讨论关于的一元二次方程的解的个数与的取值范围的关系．

Answer 1

【答案】（1）①；②；当x=1或x=4时，；（2）当时，一元二次方程有一个解；当＞16时，一元二次方程无解；当＜16时，一元二次方程有两个解．

【解析】

（1）①首先根据题意得出点A、B的坐标，然后代入抛物线解析式即可得出其表达式；

②首先由点A的坐标得出直线解析式，然后得出点P、Q坐标，根据平行构建方程，即可得解；

（2）首先得出，然后由PQ的最大值得出最大值，再利用二次函数图象的性质分类讨论一元二次方程的解即可.

（1）①∵m=5，

∴点A的坐标为（5，0）．

将x=0代入，得y=2．

∴点B的坐标为（0，2）．

将A（5，0），B（0，2）

代入，得

解得

∴抛物线的表达式为．

②将A(5，0)代入，解得：．

∴一次函数的表达为．

∴点P的坐标为，

又∵PQ∥y轴，

∴点Q的坐标为

∴

∵，

∴

解得：，

∴当x=1或x=4时，；

（2）由题意知：

设，

∴为的二次函数，又＜，

∵长的最大值为16，

∴最大值为16．

∴由二次函数的图象性质可知

当时，一元二次方程有一个解；

当＞16时，一元二次方程无解；

当＜16时，一元二次方程有两个解．.