Question

14．如图，∠AOB=45°，点C在∠AOB内部，CD⊥OB于点D，CD=5，OD=13，点E、点F分别是射线OA、射线OB上的动点，那么FE+FC的最小值是9$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图，作点E关于OD的对称点E′，作射线OE′，作CE″⊥OE′交OD于F′，延长DC交OA于H，作CM⊥OA于M．因为EF+CF=E′F+CF，所以根据垂线段最短可知，当CE″⊥OE′时，EF+CF的值最小，最小值为CE″，求出CE″即可解决问题．

解答 解：如图，作点E关于OD的对称点E′，作射线OE′，作CE″⊥OE′交OD于F′，延长DC交OA于H，作CM⊥OA于M．

∵EF+CF=E′F+CF，
∴根据垂线段最短可知，当CE″⊥OE′时，EF+CF的值最小，最小值为CE″，
∵∠AOD=45°，∠ADO=90°，
∴∠DOH=∠DHO=45°，
∴OD=DH=13，∵CD=5，
∴CH=8，
∵CM⊥OA，
∴∠CMH=90°，∠MCH=∠MHC=45°，
∴CM=MH=4$\sqrt{2}$，
∵∠AOE′=2∠AOD=90°=∠OE″C=∠CMO，
∴四边形CMOE″是矩形，
∴OE″=CM=4$\sqrt{2}$，
在Rt△OCD中，OC²=OD²+CD²=13²+5²=194，
在Rt△OCE″中，CE″=$\sqrt{O{C}^{2}-OE{″}^{2}}$=$\sqrt{194-32}$=9$\sqrt{2}$，
∴EF+CF的值最小为9$\sqrt{2}$．
故答案为9$\sqrt{2}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题，等腰直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用对称，垂线段最短解决最小值问题，灵活运用勾股定理，所以中考常考题型．