题目内容

如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0， $数学公式$ ）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（-1，0），B（5，0），C（0， $\text{[math]}$ ）三点在抛物线上，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
∴抛物线的解析式为：y= $\text{[math]}$ x²-2x- $\text{[math]}$ ；

（2）∵抛物线的解析式为：y= $\text{[math]}$ x²-2x- $\text{[math]}$ ，
∴其对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，- $\text{[math]}$ ），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线BC的解析式为y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
当x=2时，y=1- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
∴P（2，- $\text{[math]}$ ）；

（3）存在．
如图2所示，

①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，- $\text{[math]}$ ），
∴N₁（4，- $\text{[math]}$ ）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N₂作ND⊥x轴于点D，
在△AN₂D与△M₂CO中，
$\text{[math]}$
∴△AN₂D≌△M₂CO（ASA），
∴N₂D=OC= $\text{[math]}$ ，即N₂点的纵坐标为 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ x²-2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得x=2+ $\text{[math]}$ 或x=2- $\text{[math]}$ ，
∴N₂（2+ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），N₃（2- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，- $\text{[math]}$ ），（2+ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（2- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0， $\text{[math]}$ ）三点代入求出a、b、c的值即可；
（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．