Question

如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGEF的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC的评分项GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：

①GH⊥BE；②HOBG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．

其中正确的结论有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

Answer 1

C

解：（1）如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，

∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，

在△BCE和△DCG中，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴∠BEC=∠BGH，

∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，

∴∠BEC+∠HDE=90°，

∴GH⊥BE．

故①正确，

（2）∵GH是∠EGC的平分线，

∴∠BGH=∠EGH，

在△BGH和△EGH中

∴△BGH≌△EGH（ASA），

∴BH=EH，

∵O是EG的中点，

∴==，

∴HO=BG，

故②正确．

（3）由（1）得△EHG是直角三角形，

∵O为FG的中点，

∴OH=OG=OE，

∴点H在正方形CGFE的外接圆上，

故③错误，

（4）如图2，连接CF，

由（3）可得点H在正方形CGFE的外接圆上，

∴∠HFC=∠CGH，

∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，

∴∠FMG=∠GBE，

又∵∠EGB=∠FGM=45°，

∴△GBE∽△GMF．