Question

某织布厂有工人200名，为改善经营，增设制衣项目．已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件需用布1.5米．将布直接出售，每米可获利2元；将布制成衣后出售，每件可获利25元．若每名工人只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣，则

(1)一天中制衣所获利润P＝________元(用含x的代数式表示)；

(2)一天中剩余布所获利润Q＝________元(用含x的代数式表示)；

(3)当x取何值时，该厂一天中所获总利润W(元)为最大？最大利润为多少元？

Answer 1

答案：
解析：

简解：(1)P＝25×4x＝100x； 　　(2)Q＝2[30(200－x)6x] 　　＝－72x＋12000． 　　由于该厂是“利用所织布制衣”，故每天所织的布必须满足制衣用布，即 　　30(200－x)≥1.5×4x， 　　得　　x≤166． 　　而制衣工人数是整数，故制衣工人最多安排166人，故x的取值范围是0＜x≤166中的整数． 　　(3)W＝P＋Q＝28x＋12000，由函数性质知，当x＝166时，可取最大值 　　W＝28×166＋12000＝16648(元)． 　　答：当x＝166时，该厂一天中所获总利润W(元)为最大，最大利润是16648元．

提示：

解答应用问题一定要全面、深刻地领会题意，特别是其中的关键性词语，哪怕是一个字也不要轻易放过．譬如本题“已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件”一句中的“或”字，如果把它理解为“和”字，结果便会大相径庭． 　　x和P、Q之间的相依关系比较简单，函数式容易列出，但当得出W＝P＋Q＝28x＋12000之后，如何确定x为何值时，W取得最大值却有些困难．这就要把题目中对于x的约束条件全部找出来：①因为工厂共有工人200名，所以安排制衣的工人最多不能超过200名，即x的取值范围是0≤x≤200；②用于制衣的布料，全部由本厂生产，故制衣用布总量不能超过织出的总量，即有不等式30(200－x)≥1.5×4x；③由于x只能是正整数，在范围0≤x≤内，最大的正整数是166，所以当x＝166时，W的值最大．