Question

设x₁，x₂，x₃，…，x₄₀是正整数，且x₁+x₂+x₃+…+x₄₀=58，则x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²的最大值和最小值为

1. A.
   400，94
2. B.
   200，94
3. C.
   400，47
4. D.
   200，47

Answer 1

A
分析：把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²的最大值和最小值是存在的．
①设x₁≤x₂≤…≤x₄₀，由（x₁-1）²+（x₂+1）²＞x₁²+x₂²，所以，当x₁＞1时，把x₁调到1，这时，x₁²+x₂²+…+x₄₀²将增大，所以可以求出最大值．②若存在两数x_i，x_j，使得x_j-x_i≥2（1≤i＜j≤40），根据（x_i+1）²+（x_j-1）²=x_i²+x_j²-2（x_i-x_j-1）＜x₁²+x₂²，所以在x₁，x₂，x₃，…，x₄₀中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，这时，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²将减小，可以求出最小值．
解答：把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x₁²+x₂²+…+x₄₀²的最大值和最小值是存在的．
不妨设x₁≤x₂≤…≤x₄₀，若x₁＞1，则x₁+x₂=（x₁-1）+（x₂+1），且
（x₁-1）²+（x₂+1）²=x₁²+x₂²+2（x₂-x₁）+2＞x₁²+x₂²
所以，当x₁＞1时，把x₁调到1，这时，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²将增大；
同样，可把x₂，x₃…x₃₉逐步调至1，这时，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²将增大，于是，当x₁，x₂…x₃₉均为1，x₄₀=19时，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²将取最大值，即
A=1×39+19²=400．
若存在两数x_i，x_j，使得x_j-x_i≥2（1≤i＜j≤40），则
（x_i+1）²+（x_j-1）²=x_i²+x_j²-2（x_i-x_j-1）＜x₁²+x₂²
所以在x₁，x₂，x₃，…，x₄₀中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，这时，
x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²将减小
所以当有22个是1，18个是2时x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²将取最小值，即
B=1×22+2²×18=94
故最大值为400，最小值为94．
故A项正确，故选A．
点评：①本题综合了数的拆分以及不等式的性质，属于有理数的综合运算，总的来说比较难，要求平时对基本的知识非常熟练地掌握．
②本题作为选择题有其特殊的解法，一般情况下如果做不出来或者没有思路可以采用赋值法，然后进行排除找到答案．