Question

已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为(2,0).

(1) 求点B的坐标；

 (2) 若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；

 (3) 在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

略

解析:(1) 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，

∴ OB=. 过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则  OD=，BD=，∴ 点B的坐标为() .

 (2) 将A(2,0)、B()、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得

解方程组，有 a=，b=，c=0.

∴ 所求二次函数解析式是y=x2+x.

(3) 设存在点C(x , x2+x) (其中0<x<)，使四边形ABCO面积最大.

∵△OAB面积为定值，

∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大.

过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则

S△OBC= S△OCF +S△BCF==，

而 |CF|=yC-yF=，

∴ S△OBC= .

∴ 当x=时，△OBC面积最大，最大面积为.

此时，点C坐标为()，四边形ABCO的面积为