Question

如图，已知O为坐标原点，点A的坐标为（2，3），⊙A的半径为1，过A作直线l平行于x轴，点P在l上运动．
（1）当点P运动到圆上时，求线段OP的长．
（2）当点P的坐标为（4，3）时，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）要注意考虑两种情况，根据勾股定理计算其距离；
（2）根据相似三角形的性质求得圆心到直线的距离，再进一步根据数量关系判断其位置关系．

解答：解：（1）如图，设l与y轴交点为C．
当点P运动到圆上时，有P₁、P₂两个位置，
∴OP1=

32+12

=

10

；
OP2=

32+32

=3

2

．

（2）连接OP，过点A作AM⊥OP，垂足为M．
∵P（4，3），
∴CP=4，AP=2．
在Rt△OCP中
OP=

42+32

=5．
∵∠APM=∠OPC，∠PMA=∠PCO=90°，
∴△PAM∽△POC．
∴

PA

PO

=

AM

OC

，

2

5

=

AM

3

，
∴AM=

6

5

＞1，
∴直线OP与⊙A相离．

点评：此类题首先要能够根据题意正确画出图形，结合图形进行分析．要判断直线和圆的位置关系，能够正确找到计算圆心到直线的距离和圆的半径，进而比较其大小．