Question

如图，在锐角△ABC中，AB是最短边；以AB中点O为圆心，

1

2

AB长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、BD．
（1）若⊙O的半径为6.5，BE=5，求DG的长；
（2）若

S△BEF

S△OBD

=

1

3

，求

EF

AD

的比值；
（3）试判断∠ADO 与∠B+∠BAD的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）主要是根据OD∥BC，而O是AB中点，利用平行线分线段成比例定理可证AG=GE，于是可知OG是△ABE的中位线，利用中位线定理可求OG，进而可求DG；
（2）据图可知△AOD和△BOD等底同高，于是可知S_△AOD=S_△BOD，结合

S△BEF

S△OBD

=

1

3

，易得S_△BEF：S_△ABD=1：6，而OD∥BC，OS=OD，易证∠2=∠3，又知∠ADB=∠FEB=90°，于是可证△BEF∽△BDA，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得（

EF

AD

）²=

1

6

，从而易求

EF

AD

；
（3）由于OA=OD，可知∠ADO=∠BAD，从而易知∠BAD＜∠BAD+∠B，即∠ADO＜∠BAD+∠B．

解答：解：（1）∵⊙O的半径是6.5，
∴AB=13，
∵OD∥BC，
∴OA：OB=AG：GE，
∵O是AB中点，
∴AG=GE，
∴OG是△ABE的中位线，
∴OG=

1

2

BE=2.5，
∵OD=6.5，
∴DG=6.5-2.5=4；
（2）∵OA=OB，
∴S_△AOD=S_△BOD，
∴S_△ABD=2S_△BOD，
∵

S△BEF

S△OBD

=

1

3

，
∴S_△BEF：S_△ABD=1：6，
∵OD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
又∵∠ADB=∠FEB=90°，
∴△BEF∽△BDA，
∴S_△BEF：S_△BDA=（

EF

AD

）²，
∴（

EF

AD

）²=

1

6

，
∴

EF

AD

=

6

6

；
（3）∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAD，
∴∠BAD＜∠BAD+∠B，
即∠ADO＜∠BAD+∠B．

点评：本题是圆的综合题，解题的关键是使用三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理，并证明OG是△ABE的中位线，以及△BEF∽△BDA．