题目内容

已知⊙O的直径AB=10，有一动点C从A点沿圆周顺时针向点B运动，若点D为弦AC所对弧的三等分点，过点D作DE⊥AB于E，直线AC交直线DB于G，点C、D都不与直径AB两端点重合，
（1）如图，若
AD
=
1
3
ADC
=45°时，①求劣弧AD的长；②求DE的长；③求△BCG的面积；
（2）在点C的运动过程中是否存在以G、C、B为顶点的三角形和△ABC相似？若有请画出相应状态图，并求出相应线段EB的长；若不存在，请说明理由．
分析：（1）①连接OD，由
AD
=
1
3
ADC
=45°得到∠AOD=45°，然后根据弧长公式计算弧AD的长度；
②由DE⊥AB，易得△ODE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得到DE=
2
2
OD=
5
2
2
；
③在Rt△BDE中，根据勾股定理计算出DE=
DE2+BE2
=5
2+
2
，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠C=90°，易弧BC的度数是45°，弧CD的度数是90°，则∠CBD=45°，则△CBG为等腰直角三角形；接着证明Rt△ABC∽Rt△BDE，利用相似计算出BC=
5
2
2+
2
，然后根据△BCG的面积=
1
2
BC2进行计算；
（2）当弧DC=弧BC时，∠BAC=∠DBC，即可得到Rt△CBG∽Rt△CAB；由点D为弦AC所对弧的三等分点，则∠BAC=∠DBC=2∠ABD，易得∠ABD=18°，连接AD，根据AB为直径得到∠ADB=90°，在Rt△ABD中，AB=10，∠ABD=18°，根据余弦的定义得BD=10cos18°，在Rt△DEB中，根据正弦的定义得DE=BDsin18°，所以DE=10cos18°•sin18°．
解答：解：（1）①连接OD，如图，
∵
AD
=
1
3
ADC
=45°，
∴∠AOD=45°，
∵AB=10，
∴OA=OD=5，
∴弧AD的长度=
45π•5
180
=
5
4
π；
②∵DE⊥AB，
∴∠DEO=90°，
∵∠DOA=45°，
∴△ODE为等腰直角三角形，
∴DE=
2
2
OD=
2
2
×5=
5
2
2
；
③在Rt△BDE中，DE=
5
2
2
，BE=OB+OE=5+
5
2
2
，
∴DE=
DE2+BE2
=5
2+
2
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵
AD
=
1
3
ADC
=45°，
∴弧BC的度数是180°-45°×3=45°，弧CD的度数是2×45°=90°，
∴∠CBD=45°，
∴∠CGB=∠B=45°，
∴△CBG为等腰直角三角形；
∵
AD
和
BC
的度数都为45°，
∴∠ABD=∠BAC，
∴Rt△ABC∽Rt△BDE，
∴
BC
DE
=
AB
DE
，即
BC
5
2
2
=
10
5
2+
2
，
∴BC=
5
2
2+
2
，
∴△BCG的面积=
1
2
BC2=
1
2
×（
5
2
2+
2
）2=
50-25
2
2
；

（2）存在．
当弧DC=弧BC时，∠BAC=∠DBC，
∴Rt△CBG∽Rt△CAB，
∵点D为弦AC所对弧的三等分点，
∴∠BAC=∠DBC=2∠ABD，
设∠ABD=α，则∠BAC=∠DBC=2α，
∴α+2α+2α=90°，解得α=18°，
∴∠ABD=18°，
连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AB=10，∠ABD=18°，
∴BD=10cos18°，
在Rt△DEB中，DE=BDsin18°，
∴DE=10cos18°•sin18°．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理及其推论、等腰直角三角形的判定与性质；会运用相似比、勾股定理和锐角三角形函数的定义进行几何计算．
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2
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6
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．

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