Question

【题目】如图，在等腰直角△ABC中，∠C是直角，点A在直线MN上，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．

（1）如图1，当C，B两点均在直线MN的上方时，

①直接写出线段AE，BF与CE的数量关系．

②猜测线段AF，BF与CE的数量关系，不必写出证明过程．

（2）将等腰直角△ABC绕着点A顺时针旋转至图2位置时，线段AF，BF与CE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程．

（3）将等腰直角△ABC绕着点A继续旋转至图3位置时，BF与AC交于点G，若AF=3，BF=7，直接写出FG的长度．

Answer 1

【答案】（1）①AE+BF =EC；②AF+BF=2CE；（2）AF﹣BF=2CE，证明见解析；（3）FG=．

【解析】

（1）①只要证明△ACE≌△BCD（AAS），推出AE=BD，CE=CD，推出四边形CEFD为正方形，即可解决问题；

②利用①中结论即可解决问题；

（2）首先证明BF-AF=2CE．由AF=3，BF=7，推出CE=EF=2，AE=AF+EF=5，由FG∥EC，可知，由此即可解决问题；

（1）证明：①如图1，过点C做CD⊥BF，交FB的延长线于点D，

∵CE⊥MN，CD⊥BF，

∴∠CEA=∠D=90°，

∵CE⊥MN，CD⊥BF，BF⊥MN，

∴四边形CEFD为矩形，

∴∠ECD=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，

即∠ACE=∠BCD，

又∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=BC，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（AAS），

∴AE=BD，CE=CD，

又∵四边形CEFD为矩形，

∴四边形CEFD为正方形，

∴CE=EF=DF=CD，

∴AE+BF=DB+BF=DF=EC．

②由①可知：AF+BF=AE+EF+BF

=BD+EF+BF

=DF+EF

=2CE，

（2）AF-BF=2CE

图2中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，

∵AC=BC

可得∠AEC=∠CGB，

∠ACE=∠BCG，

在△CBG和△CAE中，

，

∴△CBG≌△CAE（AAS），

∴AE=BG，

∵AF=AE+EF，

∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，

∴AF-BF=2CE；

（3）如图3，过点C做CD⊥BF，交FB的于点D，

∵AC=BC

可得∠AEC=∠CDB，

∠ACE=∠BCD，

在△CBD和△CAE中，

，

∴△CBD≌△CAE（AAS），

∴AE=BD，

∵AF=AE-EF，

∴AF=BD-CE=BF-FD-CE=BF-2CE，

∴BF-AF=2CE．

∵AF=3，BF=7，

∴CE=EF=2，AE=AF+EF=5，

∵FG∥EC，

∴，

∴，

∴FG=．