Question

已知⊙O与⊙O′交于A、B两点，且⊙O′经过点O，AO延长线交⊙O于点C，CB延长线交⊙O′于点D，OD交⊙O于点E，连BE．
（1）求证：AD为⊙O′的直径．
（2）求∠EBD的度数．
（3）若⊙O的半径为1，⊙O′的半径为1.5，求△ABD的内切圆半径．

Answer 1

分析：（1）由AC为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ABC=90°，利用邻补角的定义得∠ABD=90°，然后根据90°的圆周角所对的弦为直径即可得到结论；
（2）由AD为⊙O′的直径得到∠AOD=90°，在⊙O中，根据圆周角定理得到∠ABE=

1

2

∠AOE=45°，则∠EBD=90°-45°=45°；
（3由∠AOD=90°，而OA=OC，得到DO垂直平分AC，则DA=DC=3，在Rt△AOD中，利用勾股定理可计算出AD=2

2

，易证得Rt△ABC∽Rt△DOC，则BC：OC=AC：BC=AB：OD，即BC：1=2：3=AB：2

2

，可计算出BC=

2

3

，AB=

4 2

3

，则BD=3-

2

3

=

7

3

，根据直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半得到Rt△ABD的内切圆半径=

BA+BD-AD

2

，然后把AB、BD、AD的长度代入计算即可．

解答：（1）证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°，
∴AD为⊙O′的直径；
（2）解：∵AD为⊙O′的直径，
∴∠AOD=90°，
在⊙O中，∠ABE=

1

2

∠AOE，
∴∠ABE=45°，
∴∠EBD=90°-45°=45°；
（3）解：∵∠AOD=90°，
而OA=OC，
∴DO垂直平分AC，
∴DA=DC=3，
在Rt△AOD中，AD=3，OA=1，
∴OD=

32-12

=2

2

，
∵∠C公共，
∴Rt△ABC∽Rt△DOC，
∴BC：OC=AC：BC=AB：OD，即BC：1=2：3=AB：2

2

，
∴BC=

2

3

，AB=

4 2

3

，
∴BD=3-

2

3

=

7

3

，
∴Rt△ABD的内切圆半径=

BA+BD-AD

2

=

4 2 3 + 7 3 -3

2

=

2 2 -1

3

．

点评：本题考查了圆的综合题：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角，90°的圆周角所对的弦为直径；直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半；运用相似三角形的判定与性质和勾股定理进行几何计算．