Question

（2012•岳阳一模）如图，已知抛物线与x轴交于A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C（0，-2）点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设G是线段BC上的动点，作GH∥AC交AB于H，连接CH，当△BGH的面积是△CGH面积的3倍时，求H点的坐标；
（3）若M为抛物线上A、C两点间的一个动点，过M作y轴的平行线，交AC于N，当M点运动到什么位置时，线段MN的值最大，并求此时M点的坐标．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线与x轴的两个交点，可将其解析式设为交点式，再代入C点的坐标求解即可．
（2）对于△BGH和△CGH可看作是两个等高的三角形，那么它们的面积比等于底边的比，由此可以看出BG：GC=3：1，即：BG：GC=3：4，而已知了GH∥AC，那么BH：BA=BG：BC，BA、BC的长易得，则BH的长可求，则H点的坐标不难得出．
（3）首先要求出的是直线AC的解析式，然后设出点M、N的坐标，它们纵坐标差的绝对值就是MN的长，可据此求得关于MN长的函数关系式，再根据函数的性质来解即可．

解答：解：（1）设抛物线的解析式：y=a（x+4）（x-1），代入C（0，-2），得：
-2=a（0+4）（0-1），
解得：a=

1

2

故抛物线的解析式：y=

1

2

（x+4）（x-1）=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（2）∵当△BGH的面积是△CGH面积的3倍，
∴BG：CG=3：1，即BG：BC=3：4；
∵GH∥AC，∴

BH

AB

=

BG

BC

=

3

4

；
易知：BA=OB+OA=5，则 BH=

3

4

AB=

15

4

，
∴OH=BH-OB=

15

4

-1=

11

4

，即 H（-

11

4

，0）．

（3）设直线AC：y=kx+b，代入A（-4，0）、C（0，-2），得：

-4k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 1 2 b=-2

故直线AC：y=-

1

2

x-2；
设M（x，

1

2

x²+

3

2

x-2），则N（x，-

1

2

x-2），则：
MN=（-

1

2

x-2）-（

1

2

x²+

3

2

x-2）=-

1

2

x²-2x=-

1

2

（x+2）²+2
因此当M运动到OA的中垂线上，即M（-2，-3）时，线段MN的长最大．

点评：该题考查了比较常见的二次函数综合题，主要涉及了：利用待定系数法确定函数解析式、三角形面积的解法、平行线分线段成比例定理以及二次函数的应用，后两题在同类项题中出现的次数较多，难度适中，应牢固掌握其解法．