Question

如图：在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（-1，0）。C以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的正半轴交于点C。

（1） 求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数解析式；
（2） 设M为（1）抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；
（3） 试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）连结PC，
∵A（4，0）、B（-1，0），
∴AB=5，
∴PC=OP=OA-PA=4-=，OC=2，
∴C（0，2），
设经过A、C、B三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），
将C（0，2）代入得2=a（0-4）（0+1），
∴a=-，
∴y=-（x+1）（x-4）即y=-x²+x+2；
（2）由y=-x²+x+2=-（x-）²+，
∴M（，），
设直线CM的解析式为y=kx+2，将M（，）代入解得k=，∴y=x+2；
（3）结论：直线CM与⊙P相切。
证明：设MC与x轴相交于点N，由y=0解得x=-，
∴ON=PN=+=，NC=，
∴CN²+PC²=PN²即（）²+（）²=（）²，
∴∠PCN=90°，
∴MC与⊙P相切。