题目内容

用一张矩形纸片剪出一个半径为1，圆心角为120°的扇形（如图示），则该矩形的最小面积是________．

$\text{[math]}$
分析：由题意知，OA=OB=1，∠AOB=120°，所以在直角△OBG和直角△BCD中，求出OG、BD的长度，即可解答．
解答：

解：如图，∵OA=OB=1，∠AOB=120°，
∴在直角△OBG和直角△BCD中，
BG= $\text{[math]}$ ，OG=CD= $\text{[math]}$ ，
∴BD= $\text{[math]}$ ，
∴S_矩形EFGD=FG×GD= $\text{[math]}$ ×1= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了切线、矩形的性质定理以及直角三角形勾股定理的运用，熟记其基本性质是解答的关键．

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（1）若ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当△EFD纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量MB、MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）在（1）的条件下，求出∠BMD的大小（用含α的式子表示），并说明当α=45°时，△BMD是什么三角形；
（3）在图3的基础上，将△EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时△CGD变成△CHD，同样取AH的中点M，连接MB、MD（如图4），请继续探究MB与MD的数量关系和∠BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明α为何值时，△BMD为等边三角形．

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（2）在（1）的条件下，求出∠BMD的大小（用含α的代数式表示），并说明当α=45°时，△BMD是什么三角形？

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