Question

如图1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C，连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D。

（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若P是AY上一点，AP=4，且sinA=，
①如图2，当点D与点P重合时，求R的值；
②当点D与点P不重合时，试求PD的长（用R表示）

Answer 1

解：（1）由已知，CD⊥BC，
∴∠ADC=90°-∠CBD，
又∵⊙O切AY于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBC=90°-∠CBD，
∴∠ADC=∠OBC，
又在⊙O中，OB=OC=R，
∴∠OBC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ADC，
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）由已知，sinA=，又OB=OC=R，OB⊥AB，
∴在Rt△AOB中，AO=，AB=，
∴AC=，
由（1）已证，△ABC∽△ACD，
∴，
∴，因此AD=R，
①当点D与点P重合时，AD=AP=4，
∴R=4，
∴R=；
②当点D与点P不重合时，有以下两种可能：
i）若点D在线段AP上（即0<R<），PD=AD-AP=4-R；
ii）若点D在射线PY上（即R>），PD=AD-AP=R-4，
综上，当点D在线段AP上（即0<R<）时，PD=，
当点D在射线PY上（即R>）时，PD=R-4，
又当点D与点P重合（即R=）时，PD=0，
故在题设条件下，总有PD=|R-4|（R>0）。