Question

7．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕直角顶点BB顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则PB：P′A的值为1：2．

Answer 1

分析 如图，连接AP，构建全等三角形：△ABP≌△CBP′（SAS），由该全等三角形的对应边相等得到AP=P′C；如图，连接PP′，结合已知条件可以推知△APP′是直角三角形，所以由勾股定理来求相关线段的长度即可．

解答 解：如图，连接AP，
∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BP=BP′}\\{∠ABP=∠CBP′}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，
∴AP=3P′A，
连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=$\sqrt{2}$PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°-45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A=x，则AP=3x，
根据勾股定理，PP′=$\sqrt{A{P}^{2}-P′{A}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}-{x}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
∴PP′=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$x，
解得PB=2x，
∴P′A：PB=x：2x=1：2．
故答案是：1：2．

点评 本题考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质，根据题意作出辅助线是解题的难点．