Question

【题目】在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点 O 在原点.现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线 y=x于点 M，BC 边交 x 轴于点 N（如图）.

（1）求边 OA 在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数；

（3）试证明在旋转过程中, △MNO 的边 MN 上的高为定值；

（4）设△MBN 的周长为 p，在旋转过程中，p 值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出 p 的值.

Answer 1

【答案】（1）OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π ；（2）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形 OABC 旋转的度数为 45°-22.5°=22.5 度;（3）MN 边上的高为 2（4）在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值无变化．见解析.

【解析】

（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H，如图1，易证∠MOH=45°，然后运用扇形的面积公式就可求出边OA在旋转过程中所扫过的面积．
（2）根据正方形和平行线的性质可以得到AM=CN，从而可以证到△OAM≌△OCN．进而可以得到∠AOM=∠CON，就可算出旋转角∠HOA的度数．
（3）过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图2，易证△OAE≌△OCN，从而得到OE=ON，AE=CN，进而可以证到△OME≌△OMN，从而得到∠OME=∠OMN，然后根据角平分线的性质就可得到结论．
（4）由△OME≌△OMN（已证）可得ME=MN，从而可以证到MN=AM+CN，进而可以推出p=AB+BC=4，是定值．

解：（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H，如图1，
∵点M在直线y=x上，
∴OH=MH．
在Rt△OHM中，
∵tan∠MOH= =1，
∴∠MOH=45°．
∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，
∴OA旋转了45°．
∵正方形OABC的边长为2，
∴OA=2．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 =0.5π．∵A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转， ∴OA 旋转了 45 度．

∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π ．

（2）∵MN∥AC， ∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45 度．

∴∠BMN=∠BNM．BM=BN．

又∵BA=BC，AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，

∴△OAM ≌△OCN． ∴∠AOM=∠CON．

∴∠AOM= 1/2（90°-45°）=22.5 度．

∴旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形 OABC 旋转的度数为 45°-22.5°=22.5 度．

（3）证明：过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图2，

则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM．
∴∠AOE=∠CON．
在△OAE和△OCN中，
．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中

∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴∠OME=∠OMN．
∵MA⊥OA，MF⊥OF，
∴OF=OA=2．
∴在旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值．MN 边上的高为 2；

（4）在旋转正方形OABC的过程中，p值不变化．
证明：延长 BA 交 y 轴于 E 点，则∠AOE=45°-∠AOM，

∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．

又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．

∴△OAE ≌△OCN．

∴OE=ON，AE=CN．

又 ∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME ≌△OMN．

∴MN=ME=AM+AE． ∴MN=AM+CN，

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．

∴在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值无变化．

故答案为：（1）OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π ；（2）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形 OABC 旋转的度数为 45°-22.5°=22.5 度;（3）MN 边上的高为 2（4）在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值无变化．见解析.