题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm；点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米/秒的速度移动；与此同时，点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度移动；当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设移动的时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）设四边形PQCD的面积为y，求y与t的函数关系式．探索四边形PQCD的面积是否存在最大值？若存在，最大值是多少？若不存在，请说明理由？
【答案】分析：（1）由题意得AP=t，DP=24-t，CQ=3t，0≤t≤
，因为AD∥BC，则根据平行四边形的判定得只要当DP=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，即有3t=24-t，解t即可；
（2）四边形PQCD的面积等于△PQD与△DQC的面积和，而这两个三角形的高都等于AB，所以y四边形PQCD的面积=
（DP+CQ）•AB=
（24-t+3t）×8=8t+96，根据一次函数的性质讨论当0≤t≤
，y的最大值即可．
解答：解：（1）AP=t，DP=24-t，CQ=3t，0≤t≤
，
∵AD∥BC，
∴只要当DP=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
∴3t=24-t，解得t=6秒．
所以当t为6秒时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）存在．
y四边形PQCD的面积=
（DP+CQ）•AB=
（24-t+3t）×8=8t+96，
∵0≤t≤
，y随t的增大而增大，
∴当t=
时，y有最大值=96+8×
=
（cm2）．
所以四边形PQCD的面积的最大值为
cm2．
点评：本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．也考查了直角梯形的性质以及一次函数的性质．
，因为AD∥BC，则根据平行四边形的判定得只要当DP=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，即有3t=24-t，解t即可；（2）四边形PQCD的面积等于△PQD与△DQC的面积和，而这两个三角形的高都等于AB，所以y四边形PQCD的面积=
（DP+CQ）•AB=（24-t+3t）×8=8t+96，根据一次函数的性质讨论当0≤t≤，y的最大值即可．解答：解：（1）AP=t，DP=24-t，CQ=3t，0≤t≤
，∵AD∥BC，
∴只要当DP=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
∴3t=24-t，解得t=6秒．
所以当t为6秒时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）存在．
y四边形PQCD的面积=
（DP+CQ）•AB=（24-t+3t）×8=8t+96，∵0≤t≤
，y随t的增大而增大，∴当t=
时，y有最大值=96+8×=（cm2）．所以四边形PQCD的面积的最大值为
cm2．点评：本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．也考查了直角梯形的性质以及一次函数的性质．
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