Question

【题目】如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．求证：

（1）AB∥CD；

（2）∠2+∠3=90°．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

试题分析:（1）首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2），进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后根据同旁内角互补两直线平行可得答案；

（2）先根据三角形内角和定理得出∠BED=90°，再根据三角形外角的性质得出∠EDF+∠3=90°，由角平分线的定义可知∠2=∠EDF，代入得到∠2+∠3=90°．

证明：（1）∵DE平分∠BDC（已知），

∴∠ABD=2∠1（ 角平分线的性质）．

∵BE平分∠ABD（已知），

∴∠BDC=2∠2（角的平分线的定义）．

∴∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ 等量代换）．

∵∠1+∠2=90°（已知），

∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等式的性质）．

∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．

（2）∵∠1+∠2=90°，

∴∠BED=180°﹣（∠1+∠2）=90°，

∴∠BED=∠EDF+∠3=90°，

∵∠2=∠EDF，

∴∠2+∠3=90°．