Question

【题目】观察下列图形：

（1）可知tanα＝，tanβ＝，用“画图法”求tan（α+β）的值，具体解法如下：

第一步：如图1所示，构造符合题意两个“背靠背”的直角三角形；

第二步：如图2所示，将图1中所有数据同比例扩大3倍；

第三步：如图3所示，依托中间的Rt△ABD的各顶点构造“水平﹣﹣竖直辅助线”，构造出“一线三直角”基本相似型，并补成矩形ACEF；由图可知tan（α+β）＝　 　．

（2）依据（1）的方法，已知tanα＝，tanβ＝，用“画图法”求tan（α+β）的值．

（3）扩展延伸，已知tanα＝，tanβ＝，直接写出tan（α﹣β）＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）见解析，；（3）

【解析】

（1）按照提示的方法画矩形ACEF，AB⊥BD，由△ABC∽△BDE，可得出DE＝1，BE＝2，CE＝5，DF＝5，得tan（α+β）＝1；

（2）如图4，四边形ABCD是矩形，点E、F分别在CD、AD边上，tanα＝，tanβ＝，根据勾股定理和相似三角形性质易求得tan（α+β）＝；

（3）如图5，矩形ABCD中，AB＝CD＝17，AD＝BC＝52，CE＝13，DE＝4，DF＝1，∠AFB＝α＝∠CBF，∠CBE＝β，∠EBF＝α﹣β，根据勾股定理和相似三角形性质易求得：tan（α﹣β）＝．

解：（1）如图3，

∵四边形ACEF是矩形，

∴∠C＝∠E＝∠F＝90°，AC∥EF，EF＝AC，AF＝CE，∠CAB+∠ABC＝90°，

∵∠ABD＝90°，

∴∠DBE+∠ABC＝90°，

∴∠CAB＝∠DBE，

∴△ABC∽△BDE，

∴＝＝＝，设DE＝m，BE＝2m，

∵DE2+BE2＝BD2，即：m2+（2m）2＝，解得m1＝1，m2＝﹣1（舍去），

∴DE＝1，BE＝2，CE＝BC+BE＝3+2＝5，DF＝EF﹣DE＝6﹣1＝5，

∵AC//EF，

∴∠ADF＝∠CAD＝α+β，

∴tan（α+β）＝tan∠ADF＝＝1，

故答案为：1．

（2）如图4，

四边形ABCD是矩形，点E、F分别在CD、AD边上，令CE＝2，BC＝6，

∵∠ACE＝90°，

由勾股定理得：BE＝＝＝2，

设∠CBE＝α，∠EBF＝β，EF＝，∠BEF＝90°，

∴tanα＝＝＝，tanβ＝＝＝，

∵∠BEC+∠CBE＝90°，∠BEC+∠DEF＝90°，

∴∠DEF＝∠CBE＝α，

∴tan∠DEF＝tanα＝＝，

设DF＝n，DE＝3n，则n2+(3n)2＝，

解得：（舍去），，

∴DF＝，DE＝，

∴AB＝CD＝CE+DE＝2+＝，AF＝AD﹣DF＝6﹣＝，

∵AD//BC，

∴∠AFB＝∠CBF＝α+β，

∴tan（α+β）＝tan∠AFB＝＝＝；

（3）如图5，

矩形ABCD中，令AB＝CD＝17，AD＝BC＝52，CE＝13，DE＝4，DF＝1，

∠AFB＝α＝∠CBF，∠CBE＝β，∠EBF＝α﹣β，

则tanα＝，tanβ＝，BE＝＝13，EF＝＝，

∵tan∠DEF＝＝tanβ，

∴∠DEF＝β＝∠CBE，

∵∠CBE+∠BEC＝90°，

∴∠DEF+∠BEC＝90°，

∴∠BEF＝90°，

∴tan（α﹣β）＝＝＝，

故答案为：．