Question

已知，如图，PA切⊙O于点A，割线PD交⊙O于点C、D，∠P=45°，弦AB⊥PD，垂足为E，且BE=2CE，DE=6，CF⊥PC，交DA的延长线于点F．求tan∠CFE的值．

Answer 1

解：由相交弦定理，得AE•BE=DE•CE
又∵BE=2CE
∴AE•2CE=6CE
∴AE=3
∵AB⊥PD
∴∠AEP=90°
又∵∠P=45°
∴∠EAP=∠P=45°
∴PE=AE=3
在Rt△AEP中，由勾股定理，得：
PA===
∵PA切⊙O于点A
∴PA²=PC•PD
∴PC=
∴CE=PE-PC=3-2=1
∵FC⊥PD∴∠FCE=90°
又∵∠AED=90°
∴∠AED=∠FCE
∴AE∥FC
∴=
∴FC===
∴tan∠CFE===．
分析：求tan∠CFE的值就要找垂直关系，用边表示出来，转化为求边长的问题，由已知条件CF⊥PC，可以推出tan∠CFE=，再利用圆的性质和切线的性质求出CE和FC两边的长度即可．
点评：此题考查知识点较多，有圆的性质，平行线分线段成比例，相交弦定理，勾股定理及切割线定理，是一道综合性较强的题，同时也用到转化思想，把求tan∠CFE的问题转化为求边长的问题．