Question

如图，直线y=-

3

4

x+6与x轴、y轴分别相交于A、C两点；分别过A、C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，P为BC边上一动点．
（1）求C点的坐标；
（2）点P从点C出发沿着CB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，过点P作PE∥AC交AB于B，设运动时间为t秒，用含t的代数式表示△PBE的面积S；
（3）在（2）的条件下点P的运动过程中，将△PBE沿着PE折叠（如图所示），点B在平面内的落点为点D．当△PDE与△ABC重叠部分的面积等于

3

2

时，试求出P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）结合图形，根据直线y=-

3

4

x+6与x轴、y轴分别相交于A、C两点很容易求出点C的坐标．
（2）容易得出四边形OABC是矩形，根据性质得出BP的表达式，因为△BPE∽△BCA，求出BE表达式，进而求出△PBE的面积S．
（3）先求出D点在AC上的特殊位置时t的值，然后分两种情况求解．

解答：解：（1）当x=0时，y=6
∴点C的坐标为（0，6）；

（2）y=-

3

4

x+6与x轴相交于点A（8，0）
∵∠AOC=90°，BA⊥OA，BC⊥OC
∴四边形OABC是矩形
∴BC=OA=8，AB=OC=6
∴BP=8-CP=8-t
∵PE∥AC
∴△BPE∽△BCA
∴

BP

BC

=

BE

AB

∴BE=

3

4

(8-t)
∴S△PBE=

1

2

BP•BE=

3

8

(t-8)2=

3

8

t2-6t+24；

（3）设PD、DE与AC分别相交于点N、M，得，DP=BP=8-t，DE=BE=

3

4

(8-t)
∵PE∥AC
∴∠CNP=∠DPE，∠BPE=∠BCA
又∵∠BPE=∠DPE
∴∠CNP=∠PCN
∴PN=CP
∴当点P为CB的中点时，t=PN=CP=4，点D恰好落在CA上
①当0＜t≤4时，PN=CP=tDN=DP-t=8-2t
∵MN∥PE
∴

DN

DP

=

DM

DE

∴DM=

3

2

(4-t)
∴S_阴影=S_△BPE-S_△DMN=(

3

8

t2-6t+24)-

3

2

(4-t)2=

3

2

解得t1=

8-2 13

3

，t2=

8+2 13

3

＞4（舍去）
∴P点的坐标为（

8-2 13

3

，6）
②当4＜t＜8时，S_阴影=S_△BPE=

3

8

t2-6t+24=

3

2

解得t₃=6，t₄=10＞8（舍去）
∴P点的坐标为（6，6）
即：当重叠部分的面积等于

3

2

时，P点的坐标为（

8-2 13

3

，6）或（6，6）

点评：在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题，注意理解其具体的意义，画出图形会比较清楚；很多题应该注意情况不止一种以及根的取舍问题，比如说不在定义域内等，联系实际借助图形的帮助更深的理解．