Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm．动点P从点A出发沿线段AB向点B运动，动点Q从点C出发沿射线BC运动，连接PQ，交AC于点D．作PE⊥AC于点E，若在点P，Q运动的过程中，始终保持AP=CQ，则线段DE的长度为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：几何动点问题,动点型

分析：作PF∥BC交AC于点D，就可以得出△APE是等腰直角三角形，由其性质就可以得出AE=EF，由△PFD≌△QCD就可以得出DC=DF，进而就可以得出DF+FE=CD+AE就可以得出结论．

解答：解：作PF∥BC交AC于点D，
∴∠APF=∠B=90°，∠AFP=∠ACB．∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD．
∵∠B=90°，AB=BC=8cm，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴PA=AF．
∵PE⊥AC，
∴AE=EF．
∵AP=CQ，
∴PF=CQ．
在Rt△ABC中，由勾股定理就可以得出
AC=8

2

．
在△PFD和△QCD中，

∠FPD=∠Q PF=QC ∠PFD=∠QCD

，
∴△PFD≌△QCD（ASA）
∴DF=DC，
∴DF+EF=DC+AE，
∴DE=

1

2

AC，
∴DE=4

2

cm．
故答案为：4

2

．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．