Question

已知：如图，在正方形ABCD中，AD=1，P、Q分别为AD、BC上两点，且AP=CQ，连接AQ、BP交于点E，EF平行BC交PQ于F，AP、BQ分别为方程x²-mx+n=0的两根．
（1）求m的值；
（2）试用AP、BQ表示EF；
（3）若S_△PQE=

1

8

，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根据AP=QC，AP+BQ=QC+BQ=BC=1，AP、BQ分别为方程x²-mx+n=0的两根，可知AP+BQ=m，AP•BQ=n，所以AP+BQ=m=1；
（2）利用平行线等分线段定理，结合合比性质可求得

EQ

AE

=

BQ

AP

，

EQ

AE+EQ

=

BQ

AP+BQ

即

EQ

AQ

=

BQ

AP+BQ

，所以EF=

AP•BQ

AP+BQ

；
（3）连接QD，则EP∥QD，得：S_△AQD=

1

2

，三角形的面积公式，可知S_△AEP=AP²•S_△AQD=

1

2

AP²，所以求得S_△PQE：S_△AEP=EQ：AE，则可求得AP•BQ=

1

4

即n=

1

4

．

解答：解：（1）∵AP=QC，AP+BQ=QC+BQ=BC=1，
又∵AP、BQ分别为方程x²-mx+n=0的两根，
所以有AP+BQ=m，AP•BQ=n，
∴AP+BQ=m=1．
即m=1．

（2）∵EF∥AP，
∴

EF

AP

=

EQ

AQ

，
又∵AP∥BQ，
∴

EQ

AE

=

BQ

AP

，
∴

EQ

AE+EQ

=

BQ

AP+BQ

即

EQ

AQ

=

BQ

AP+BQ

，
∴

EF

AP

=

BQ

AP+BQ

，即：EF=

AP•BQ

AP+BQ

．
∵AP+BQ=1，
∴EF=AP•BQ．

（3）连接QD，则EP∥QD
得：S_△AQD=

1

2

，
且S_△AEP：S_△AQD=AP²：AD²=AP²：1=AP²，
∴S_△AEP=AP²•S_△AQD=

1

2

AP²，
∴S_△PQE：S_△AEP=EQ：AE，
即

1

8

：

1

2

AP²=EQ：AE=BQ：AP，
∴AP•BQ=

1

4

，即：n=

1

4

．

点评：主要考查了正方形的性质和平行线等分线段定理和根与系数的关系．要会利用一元二次方程根与系数的关系得到对应的字母的值，灵活的运用正方形的性质和平行线等分线段定理中的比例线段求对应线段的值或比例关系．