Question

已知两个全等的等腰直角、△DEF，其中ACB=DFE=90，E为AB中

点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB(或它们所在直线)于

M、N．

  (1)如图l，当线段EF经过的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC

于M,求证：AM=MC；

  (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连

MN,EC,请探究AM，MN,CN之间的等量关系，并说明理由；

  (3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连

MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由。

Answer 1

（1）∵AC=BC，E为AB中点

CE⊥AB, ∠ACE＝∠BCE =ACB=45^o

∠AEC＝90^o

∠A=∠ACE=45^o

AE=CE                                    

∵DF=EF, ∠DFE＝90^o

∠FED=45^o

∠FED=∠AEC

又∵AE=CE

AM=MC                                   

（2）AM=MN+CN，理由如下:                       

在AM截取AH，使得AH=CN，连接BH

由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45^o

在与中： ≌

HE=NE，∠AEH＝∠CEN

∠HEM=∠AEC－∠AEH－MEC=∠AEC－∠CEN－MEC=∠AEC－∠MEF==45^o

∠HEM=∠NEM=45^o

在与中： ≌

HM=MN

AM=AH+HM= CN +MN

即AM=MN+CN                               

（3）猜得MN = AM +CN