Question

已知两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N。

（1）如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：AM=MC；
（2）如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由；
（3）如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由。

Answer 1

解：（1）∵AC=BC，E为AB中点
∴CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°
∴ ∠AEC=90°，
∴∠A=∠ACE=45°，
∴AE=CE
∵DF=EF，∠DFE=90°
∴∠FED=45°
∴∠FED=∠AEC
又∵AE=CE
∴AM=MC。
（2）AM=MN+CN，理由如下：
在AM截取AH，使得AH=CN，连接BH
由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45°
在与中：
∴
∴HE=NE，∠AEH=∠CEN
∴∠HEM=∠AEC-∠AEH-MEC=∠AEC-∠CEN-∠MEC=∠AEC-∠MEF==45°
∴∠HEM=∠NEM=45°
在与中：
∴
∴HM=MN
∴AM=AH+HM=CN+MN
即AM=MN+CN。
（3）猜得MN=AM+CN。