Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过O（0，0），A（4，0），B（3，3）三点，连接AB，过点B作BC∥轴交抛物线于点C．动点E、F分别从O、A两点同时出发，其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动，点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动，动点E、F有一个点到达目的点即停止全部运动．设动点运动的时间为t（秒）．

【小题1】求抛物线的解析式
【小题2】记△EFA的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值；
【小题3】是否存在这样的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】根据题意得-------------1分
解得，所以-----------------2分
【小题2】过点B作BM⊥x轴于M，

则BM=3，OM=3，∵OA=4，所以AM=1，
AB=．
当时，,过点F作FH⊥x轴，因为
,∴，
------------4分
当时，如图，
------------6分
当时，处取得面积最大值，最大值为，
当时, 处取得面积最大值，最大值为，
综上，所以当x=2时，取得面积最大值．------------8分
【小题3】当时，
若∠EFA=90°,可得，得，即，得,

此时，点．------------10分
当∠FEA=90°时，可得，得，
即，得,
此时，点．------------12分
当时，∠FEA一定为钝角，符合题意的三角形不存在．------------14分解析:
（1）将三点的坐标代入，利用待定系数法求解即可得出答案．
（2）过点B作BM⊥x轴于M构建Rt△ABM，由点B的坐标可以求得BM=，OM=3，由点A的坐标可以求得OA=4，根据图形可知AM=1，在该三角形中利用勾股定理可以求得AB=2，所以根据直角三角形的边角关系可以推知∠BAM=60°；最后根据t的不同取值范围进行分类讨论，并求得相应的S的值，通过比较即可求得S的最大值；
（3）需要分类讨论：①当0≤t≤2时，若∠EFA=90°，此时∠FEA=30°，在直角三角形中根据三角函数的定义可以求得t=，据此可以求得相应的电E、F的坐标；
②当∠FEA=90°时，此时∠EFA=30°，在直角三角形中根据三角函数的定义可以求得t=，故这种情况不存在；
③当2＜t≤4时，有t-2+t=3，即t=2.5，据此可以求得相应的电E、F的坐标．