Question

如图，细心观察，认真分析各式，然后解答问题：
（

1

）²+1=（

2

）²=2，S₁=

1

2

；
（

2

）²+1=（

3

）²=3，S₂=

2

2

；
（

3

）²+1=（

4

）²=4，S₃=

3

2

；…，…；
（1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：

 

；
（2）利用上面的结论及规律，请在图上继续作出等于

8

的长度（可不必用尺规作图）；
（3）请你计算出S²₁+S²₂+S²₃+…+S²₁₀的值=

 

；
（4）请你计算出S²₁+S²₂+S²₃+…+S²_n的值=

 

．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：计算题,规律型

分析：（1）根据运算规律，写出即可；
（2）分别作出直角三角形，使另一直角边等于1即可得解；
（3）代入数据，然后利用求和公式计算即可得解；
（4）与（3）的思路相同求解即可．

解答：解：（1）含n的等式表示：（

n

）²+1=（

n+1

）²=n+1，S_n=

n

2

；

（2）如图所示；

（3）S²₁+S²₂+S²₃+…+S²₁₀，
=（

1

2

）²+（

2

2

）²+（

3

2

）²+…+（

10

2

）²，
=

1

4

+

2

4

+

3

4

+…+

10

4

，
=

1

4

（1+2+3+…+10），
=

55

4

；

（4）S²₁+S²₂+S²₃+…+S²_n，
=（

1

2

）²+（

2

2

）²+（

3

2

）²+…+（

n

2

）²，
=

1

4

（1+2+3+…+n），
=

1

4

•

n(n+1)

2

，
=

n(n+1)

8

．
故答案为：（1）（

n

）²+1=（

n+1

）²=n+1，S_n=

n

2

；（3）

55

4

；（4）

n(n+1)

8

．

点评：本题考查了勾股定理，求和公式，读懂题目信息，理解勾股定理是解题的关键．