题目内容

如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5 $数学公式$ cm²？
（2）经过多少时间后，S_△PCQ的面积为15cm²？
（3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？

解：（1）设经过ts后，P、Q两点的距离为5 $\text{[math]}$ cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC²+CQ²=PQ²，
代入数据 $\text{[math]}$ ；
解得t=1或t=- $\text{[math]}$ （不合题意舍去）；

（2）设经过ts后，S_△PCQ的面积为15cm²
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×（7-2t）×5t=15
解得t₁=2，t₂=1.5，
经过2或1.5s后，S_△PCQ的面积为15cm²

（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ= $\text{[math]}$ ×PC×CQ= $\text{[math]}$ ×（7-2t）×5t= $\text{[math]}$ ×（-2t²+7t）
当t=- $\text{[math]}$ 时，即t= $\text{[math]}$ =1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S_△PCQ= $\text{[math]}$ ×PC×CQ= $\text{[math]}$ ×（7-2×1.75）×5×1.75²⁼ $\text{[math]}$
当时间为1.75秒时，最大面积为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据勾股定理PC²+CQ²=PQ²，便可求出经过1s后，P、Q两点的距离为5 $\text{[math]}$ cm²
（2）根据三角形的面积公式S_△PCQ= $\text{[math]}$ ×PC×CQ便可求出经过2或1.5s后，S_△PCQ的面积为15cm²
（3）根据三角形的面积公式S_△PCQ= $\text{[math]}$ ×PC×CQ以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大．
点评：本题主要结合勾股定理和三角形面积公式的求法考查了二次函数的应用，是各地中考的热点，属于中档题．