Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4），连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是

1. A.
   （8，4）
2. B.
   （8，4）或 （-3，4）
3. C.
   （8，4）或（-3，4）或（-2，4）
4. D.
   （8，4）或（-3，4）或（-2，4）或（，4）

Answer 1

D
分析：根据题意可得0A=5，再分两种情况讨论：OA为等腰三角形一条腰；OA为底边．再计算求解．
解答：∵A（3，4），
∴OB=3，AB=4，
∴0A==5，
①若AP=OA，则点P的坐标为：（8，4）或（-2，4），
②若AP=OP，设点P的坐标为：（x，4），
则（x-3）²=x²+4²，
解得：x=-，
∴点P的坐标为（-，4）；
③若OA=OP，设P的坐标为（x，4），
则x²+4²=5²，
解得：x=±3，
∴点P的坐标为：（-3，4）；
∴所有满足条件的点P的坐标是：（8，4）或（-2，4）或（-，4）或（-3，4）．
故选：D．
点评：此题考查了等腰三角形的性质以及两点间的距离公式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．