Question

2．如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成一个矩形零件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问要使加工成的这个矩形面积最大，那么边长MN应是多少mm？

Answer 1

分析 PN与AD交于点E，如图，设MN=xmm，则AE=AD-ED=80-x，再证明△APN∽△ABC，利用相似比可表示出PN=$\frac{3}{2}$（80-x），根据矩形的面积公式得到S_矩形PQMN=PN•MN=$\frac{3}{2}$（80-x）•x，接着配方得到S_矩形PQMN=-$\frac{3}{2}$（x-40）²+2400，然后根据二次函数的最值问题求解．

解答 解：PN与AD交于点E，如图，设MN=xmm，
易得四边形MNED为矩形，则ED=MN=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{PN}{120}$=$\frac{80-x}{80}$，
∴PN=$\frac{3}{2}$（80-x），
∴S_矩形PQMN=PN•MN=$\frac{3}{2}$（80-x）•x=-$\frac{3}{2}$（x-40）²+2400，
当x=40时，S_矩形PQMN，有最大值，最大值为2400（mm²）．
答：要使加工成的这个矩形面积最大，那么边长MN应是40mm．

点评 本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．也考查了二次函数的最值问题．