Question

（2013•雅安）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）首先连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线；
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S_阴影=S_扇形OBD-S_△BOD，即可求得答案．

解答：（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，
即OD⊥CD，
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=

3

，
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2

3

，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S_阴影=S_扇形OBD-S_△BOD=

120π×22

360

-

1

2

×2

3

×1=

4

3

π-

3

．

点评：此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．