Question

如图，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分线分别交MN于E、F．
（1）求证：PE=PF；
（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）

Answer 1

证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE．
∵MN∥BC，
∴∠PEC=∠BCE．
∴∠ACE=∠PEC，PE=PC．
同理：PF=PC．
∴PE=PF．

（2）当P是AC中点时四边形AECF是矩形，
∵PA=PC，PF=PC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵PE=PC，
∴AC=EF，四边形AECF是矩形．

（3）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．
分析：（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，可知∠ACE=∠BCE，∠PEC=∠BCE，PE=PC，同理：PF=PC，故PE=PF．
（2）根据矩形的性质可知当P是AC中点时四边形AECF是矩形．
（3）当∠ACB=90°时四边形AECF是正方形．
点评：此题比较复杂，解答此题的关键是熟知角平分线、矩形、菱形、正方形的判定与性质定理．