如图.在平面直角坐标系xOy中.点O为坐标原点.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A.B(2.0).与y轴交于点C.以O为圆心.半径为1的⊙O恰好经过点C.与x轴的正半轴交于点D．(1)求抛物线相应的函数表达式,(2)抛物线的对称轴交x轴于点E.连结CE.并延长CE交⊙O于F.求EF的长,为⊙O上的任意一点.当|$\frac{n}{2-m}$|的值最大时.求此时直线BP相应的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-$\frac{1}{2}$，0）、B（2，0），与y轴交于点C，以O为圆心，半径为1的⊙O恰好经过点C，与x轴的正半轴交于点D．
（1）求抛物线相应的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结CE，并延长CE交⊙O于F，求EF的长；
（3）设点P（m，n）为⊙O上的任意一点，当|$\frac{n}{2-m}$|的值最大时，求此时直线BP相应的函数表达式．

分析（1）认真审题，首先根据圆与y轴的交点求出点C的坐标，将A、B、C三个点代入，用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形相似即可求出本题的答案；
（3）如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，利用解直角三角形的知识可以求出本题的答案．

解答解：（1）∵以O为圆心，半径为1的⊙O恰好经过点C，
∴点C（0，1），
把A（，0）、B（2，0）、C（0，1）三点代入y=ax²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1.5}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴抛物线的函数表达式为y=-x²+1.5x+1；
（2）x=$-\frac{b}{2a}$=$-\frac{1.5}{-2}$=0.75，
在Rt△COE中，OC=1，OE=0.75，
∴CE=$\sqrt{{1}^{2}+0.7{5}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
设⊙O与y轴的负半轴交点为G，连接FG，
则∠CFG=∠COE=90°，∠OCE=∠FCG，
∴△CEO∽△CGF，
∴$\frac{CE}{CG}$=$\frac{CO}{CF}$，
解得CF=$\frac{CO•CG}{CE}$=$\frac{1×2}{\frac{5}{4}}$=$\frac{8}{5}$，
∴EF=$\frac{8}{5}$-$\frac{5}{4}$=$\frac{7}{20}$；
（3）如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，则BH=2-m，PH=|n|，
在直角△PHB中，tanB=|$\frac{n}{2-m}$|，
因为tanB随∠B的增大而增大，
所以|$\frac{n}{2-m}$|的值最大时，∠B的值最大，
此时，直线与⊙O相切，切点为点P，
连接OP，
在直角△0PB中，sinB=$\frac{OP}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
所以∠B=30°，
在直角△0MB中，易得OM=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴M（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
设直线BP的解析式为：y=kx+b，则：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BP相应的函数表达式为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
同理可求得当点P在x轴下方时直线BP相应的函数表达式为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．