题目内容
（2012•金华模拟）如图，正方形ABCD，对角线AC与BD交于点O，点E是AB上的动点，CE交BD于点G，EK⊥CE交边AD于点K，交对角线AC于点F．（1）若AE=BE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．
（2）若AE=2BE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．
（3）若AE=kBE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关系，请直接写出结论．
分析：（1）如图1，根据正方形的性质可以求出AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=90°，由EK⊥CE交边AD于点K可以得出∠KEC=90°，通过证明△AKE∽△BEC可以得出EK与CE的数量关系，再通过证明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根据相似三角形的性质就可以得出结论．
（2）如图2，通过证明△AKE∽△BEC可以得出EK与CE的数量关系，再通过证明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根据相似三角形的性质就可以得出结论．
（3）如图3，通过证明△AKE∽△BEC可以得出EK与CE的数量关系，再通过证明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根据相似三角形的性质就可以得出结论．，
（2）如图2，通过证明△AKE∽△BEC可以得出EK与CE的数量关系，再通过证明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根据相似三角形的性质就可以得出结论．
（3）如图3，通过证明△AKE∽△BEC可以得出EK与CE的数量关系，再通过证明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根据相似三角形的性质就可以得出结论．，
解答：解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=90°，∠EBC=∠GBC=∠ABD=∠BDC=45°．
∴∠BEC+∠BCE=45°
∵EK⊥CE，
∴∠KEC=90°．
∴∠AEK+∠BEC=90°
∴∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴
=
．
∵AE=BE，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴
=
；
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴
=
=
，
∴EF=
GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴
=
，
∴
=
，
∴EG=
GC，
∴EF=EG；
（2）如图2，∵AE=2BE，
∴
=
，
=
，
∴
=
，
=
．
∵∠DAB=∠ABC，∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴
=
，
∴
=
．
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴
=
=
，
∴EF=
GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴
=
，
∴
=
，
∴EG=
GC，
∴
=
=
；
（3）如图3，∵AE=kBE，
∴
=
，
=
，
∴
=
，
=
．
∵∠DAB=∠ABC，∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴
=
，
∴
=
．
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴
=
=
，
∴EF=
GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴
=
，
∴
=
，
∴EG=
GC，
∴
=
=
．
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=90°，∠EBC=∠GBC=∠ABD=∠BDC=45°．
∴∠BEC+∠BCE=45°
∵EK⊥CE，
∴∠KEC=90°．
∴∠AEK+∠BEC=90°
∴∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴
| AE |
| BC |
| KE |
| CE |
∵AE=BE，
∴
| AE |
| AB |
| BE |
| AB |
| 1 |
| 2 |
∴
| AE |
| BC |
| BE |
| CD |
| 1 |
| 2 |
∴
| KE |
| CE |
| 1 |
| 2 |
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴
| EF |
| CG |
| AE |
| BC |
| 1 |
| 2 |
∴EF=
| 1 |
| 2 |
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴
| BE |
| CD |
| EG |
| CG |
∴
| EG |
| CG |
| 1 |
| 2 |
∴EG=
| 1 |
| 2 |
∴EF=EG；
（2）如图2，∵AE=2BE，∴
| AE |
| AB |
| 2 |
| 3 |
| BE |
| AB |
| 1 |
| 3 |
∴
| AE |
| BC |
| 2 |
| 3 |
| BE |
| CD |
| 1 |
| 3 |
∵∠DAB=∠ABC，∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴
| AE |
| BC |
| KE |
| CE |
∴
| KE |
| CE |
| 2 |
| 3 |
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴
| EF |
| CG |
| AE |
| BC |
| 2 |
| 3 |
∴EF=
| 2 |
| 3 |
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴
| BE |
| CD |
| EG |
| CG |
∴
| EG |
| CG |
| 1 |
| 3 |
∴EG=
| 1 |
| 3 |
∴
| EG |
| EF |
| ||
|
| 1 |
| 2 |
（3）如图3，∵AE=kBE，∴
| AE |
| AB |
| k |
| k+1 |
| BE |
| AB |
| 1 |
| k+1 |
∴
| AE |
| BC |
| k |
| k+1 |
| BE |
| CD |
| 1 |
| k+1 |
∵∠DAB=∠ABC，∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴
| AE |
| BC |
| KE |
| CE |
∴
| KE |
| CE |
| k |
| k+1 |
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴
| EF |
| CG |
| AE |
| BC |
| k |
| k+1 |
∴EF=
| k |
| k+1 |
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴
| BE |
| CD |
| EG |
| CG |
∴
| EG |
| CG |
| 1 |
| k+1 |
∴EG=
| 1 |
| k+1 |
∴
| EG |
| EF |
| ||
|
| 1 |
| k |
点评：本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，在解答本题时灵活运用相似三角形的性质是关键．
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