Question

如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

解答下列问题：

(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图，线段CF、BD之间的位置关系为________，数量关系为________．

②当点D在线段BC的延长线上时，如图，①中的结论是否仍然成立，为什么？

(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC(点C、F重合除外)？画出相应图形，并说明理由．(画图不写作法)

(3)若AC＝4，BC＝3，在(2)的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①CF⊥BD，CF＝BD 　　②成立，理由如下： 　　∵∠FAD＝∠BAC＝90°　∴∠BAD＝∠CAF 　　又BA＝CA　AD＝AF 　　∴△BAD≌△CAF 　　∴CF＝BD　∠ACF＝∠ACB＝45° 　　∴∠BCF＝90°　∴CF⊥BD　　(1分) 　　(2)当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下： 　　如图：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G 　　则∵∠ACB＝45°　∴AG＝AC　∠AGC＝∠ACG＝45° 　　∵AG＝AC　AD＝AF　　(1分) 　　∴△GAD≌△CAF(SAS)　∴∠ACF＝∠AGD＝45° 　　∴∠GCF＝∠GCA＋∠ACF＝90°　∴CF⊥BC　　(2分) 　　(3)如图：作AQBC于Q