Question

【题目】如图，已知拋物线，将抛物线沿轴翻折，得到拋物线．

（1）求出抛物线的函数表达式；

（2）现将抛物线向左平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为，与轴的交点从左到右依次为，；将抛物线向右也平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为，与轴交点从左到右依次为，．在平移过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在．当时，以点，，，为顶点的四边形是矩形．

【解析】

（1）抛物线翻折前后顶点关于x轴对称，a互为相反数；

（2）连接AN，NE，EM，MA，M，N关于原点O对称OM＝ON，A，E关于原点O对称OA＝OE，判断四边形ANEM为平行四边形；若AM2＋ME2＝AE2，解得m＝3，即可求解．

解：（1）∵拋物线的顶点为，

∴沿轴翻折后顶点的坐标为．

∴抛物线的函数表达式为．

（2）存在．

理由：连接，，，．依题意可得：，．

∴，关于原点对称，∴．

原、抛物线与轴的两个交点分别为，．

∴，，∴，关于原点对称，∴．

∴四边形为平行四边形．

，

，

，

若，则，解得．

此时是直角三角形，且．

∴当时，以点，，，为顶点的四边形是矩形．