Question

如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
(1)①直接写出点E的坐标：               ；②求证：AG＝CH．
(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

Answer 1

(1)①解：E的坐标是：(1，)，
故答案为：(1，)；
②证明：∵矩形OABC，
∴CE＝AE，BC∥OA，
∴∠HCE＝∠EAG，
∵在△CHE和△AGE中，
∴△CHE≌△AGE，
∴AG＝CH;
(2)解：连接DE并延长DE交CB于M，

∵DD＝OC＝1＝OA，

∴D是OA的中点，
∵在△CME和△ADE中，
∴△CME≌△ADE，
∴CM＝AD＝2－1＝1，
∵BC∥OA，∠COD＝90°，
∴四边形CMDO是矩形，
∴MD⊥OD，MD⊥CB，
∴MD切⊙O于D，
∵得HG切⊙O于F，E(1，)，
∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，
在Rt△MHE中，有MH²＋ME²＝HE²
即(1－x)²＋()²＝(＋x)²，
解得x＝，
∴H(，1)，OG＝2－＝，
又∵G(，0)，
设直线GH的解析式是：y＝kx＋b，
把G、H的坐标代入得：0＝b，且1＝k＋b，
解得：k＝－，b＝，
∴直线GH的函数关系式为y＝－；
(3)解：连接BG，
∵在△OCH和△BAG中，
∴△OCH≌△BAG，
∴∠CHO＝∠AGB，
∵∠HCO＝90°，
∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，
∴OH平分∠CHF，
∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，
∵△CHE≌△AGE，
∴HE＝GE，
在△HOE和△GBE中，
∴△HOE≌△GBE，
∴∠OHE＝∠BGE，
∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，
∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA，
∵⊙P与HG、GA、AB都相切，
∴圆心P必在BG上，过P做PN⊥GA，垂足为N，
∴△GPN∽△GBA，
∴，
设半径为r，＝，
解得：r＝，
答：⊙P的半径是．