Question

【题目】如图，直线y=x+b（b＞4）与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数 的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆．CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E．
（1）△CDE是三角形；点C的坐标为 ， 点D的坐标为（用含有b的代数式表示）；
（2）b为何值时，点E在⊙O上？
（3）随着b取值逐渐增大，直线y=x+b与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）等腰直角；（ ， ）；（ ， ）
（2）解：当点E在⊙O上时，如图1，连接OE．

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴E点横坐标为： ，纵坐标为： ，

则OE=CD．

∵直线y=x+b与x轴、y轴相交于点A（﹣b，0），B（0，b），CE∥x轴，DE∥y轴，

∴△DCE、△AOB是等腰直角三角形．

∵整个图形是轴对称图形，

∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=45°．

∵CE∥x轴，DE∥y轴，

∴四边形CAOE、OEDB是等腰梯形．

∴OE=AC=BD．

∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD．

过点C作CF⊥x轴，垂足为点F．

则△AFC∽△AOB．

∴ ．

∴AF=CF= BO= b．

∴ ，

解得： ．

∵b＞4，∴ ．

∴当 时，点E在⊙O上

（3）解：当⊙O与直线y=x+b相切于点G时，

如图2，连接OG．

∵整个图形是轴对称图形，

∴点O、E、G在对称轴上．

∴GC=GD= CD= OG= AG．

∴AC=CG=GD=DB．

∴AC= AB．

过点C作CH⊥x轴，垂足为点H．

则△AHC∽△AOB．

∴ ．

∴C的纵坐标： ．

∴ ，

解得 ．

∵b＞4，∴ ．

∴当 时，直线y=x+b与⊙O相切；

当 时，直线y=x+b与⊙O相离；

当 时，直线y=x+b与⊙O相交．

【解析】解：（1）根据直线y=x+b（b＞4）与反比例函数 的图象相交于点C、D，CE∥x轴，DE∥y轴， 则y=x+b与y=x平行，
故∠DCE=45°，
则△CDE是等腰直角三角形；
将y=x+b与y=﹣ ，联立得出：
x+b=﹣ ，
解得：x1= ，x2= ，分别代入y=x+b得：
y1= ，y2= ，
故点C的坐标为：（ ， ），
点D的坐标为：（ ， ）；
所以答案是：等腰直角，（ ， ），（ ， ）；