Question

如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．

    （1）求证：EF＝EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a,BC＝b，求的值．

  

           图1                          图2                    图3

Answer 1

（1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，

              ∴∠DEF＝GEB，………………………………………………（ 1分）

              又∵ED＝BE，

              ∴Rt△FED≌Rt△GEB，…………………………………………（ 2分）

                ∴EF＝EG．……………………………………………………（ 3分）

(2)成立．……………………………………………………………………（ 4分）

  证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，

       则EH＝EI，∠HEI＝90°，…………………………………（ 5分）

        ∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°，

        ∴∠IEF＝∠GEH，……………………………………………（ 6分）

        ∴Rt△FEI≌Rt△GEH,

        ∴EF＝EG．………………………………………………………（7分）

       

 (3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N ，

则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,………………………（ 8分）

        ∴＝＝，

        ∴＝＝, …………………………………………（9分）

        ∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，

        ∴∠FEN＝∠GEM，

∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………（10分）

∴＝＝．…………………………………………（11分）