Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x，y轴正半轴上，以OB为直径的⊙C交AB于点D，DE切⊙C于点D，交x轴于点E，且OA=12

3

cm，∠OAB=30°．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求EA的长度；
（3）若线段EA在x轴上运动，△CEA的周长是否存在最小值？若存在，分别求出点E、A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=12，AB=24，从而求得点B的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式即可；
（2）连接OD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得线段EA的长即可；
（3）过E作EH∥AC，且EH=AC，作H关于x轴的对称点S，连SC，交x轴于E'，求得直线SC的解析式即可求得点E和点A的坐标．

解答：解：（1）∵OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=12

3

，得AB=2OB，
∴点A的坐标为：（12

3

，0），
在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=12，AB=24．
∴B（0，12），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

12 3 x+b=0 b=12

解得：

k=- 3 3 b=12

故直线AB的解析式为y=-

3

3

x+12．

（2）连接OD，则∠ODB=∠ODA=90°
则∠ODE+∠DOE=90°∠DOA+∠OAD=90°       
∵EO、ED为⊙C的切线
∴EO=ED，
∴∠ODE=∠DOE，
∴∠EDA=∠DAE
∴ED=EA
∴E为OA的中点，
∴EA=

1

2

OA=6

3

；

（3）过E作EH∥AC，且EH=AC，作H关于x轴的对称点S，连SC，交x轴于E'，
则H（-6

3

，6）、S（-6

3

，-6），
∵四边形HCAE为平行四边形，
∴AC=HE=SE，
要使△CEA的周长最小，则要求CE+CA最小，即CE+SE最小，
∴C、E、S三点共线，即点E'为所求的E点，
SC的解析式为：y=

2

3

3

x+6，
∴E（-3

3

，0）、A（3

3

，0）．

点评：本题考查了圆的综合知识，在中考中将圆与函数的知识结合在一起考查是中考的热点考题之一，难度较大．