Question

如图，等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB落在上，CD经过点E（0，2），F（2，0），线段AD被y轴垂直平分，S_梯形ABCD=8S_△EOA，则k=________．

Answer 1

8
分析：△OEF是等腰直角三角形，则E，F关于第一象限的角平分线对称，则A，B关于第一象限的角平分线对称，根据垂直平分线的性质可以证得四边形AEFB是矩形，设AM=x，则AE=DE=CF=x，ME=x，CD=2x+2．根据S_梯形ABCD=8S_△EOA，即可求得x的值，则A的坐标即可求得，代入反比例函数的解析式即可求得k的值．
解答：解：连接AE，BF．
∵点E（0，2），F（2，0），
∴OE=OF=2，即△OEF是等腰直角三角形，且EF=2．
则E，F关于第一象限的角平分线对称，
又∵A，B在y=上，且AB∥DC，
∴A，B关于第一象限的角平分线对称．
∴∠OEF=45°，
∴∠DEM=45°，
∵ME⊥AD，
∴∠D=90°-∠DEM=45°，
∵线段AD被y轴垂直平分，
∴∠DAE=∠D=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DC，
∵E，F关于第一象限的角平分线对称，A，B关于第一象限的角平分线对称，
∴四边形AEFB是矩形．AB=EF=2．
设AM=x，则AE=DE=CF=x，ME=x，CD=2x+2．
S_梯形ADCB=（AB+CD）•AE=（2+2x+2）•x=（4+2x）x．
S△OEA=OE•AM=×2x=x．
∵S_梯形ABCD=8S_△EOA，
∴（4+2x）x=8x，解得：x=2，
则ME=2，OM=ME+OE=2+2=4，
则A的坐标是（2，4），代入y=，得：k=8．
故答案是：8．
点评：本题考查了反比例函数的对称性，以及垂直平分线的性质，正确证得四边形AEFB是矩形是关键．