Question

【题目】一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是_____．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为_____．（结果保留根号）

Answer 1

【答案】（12﹣12）cm （12﹣18）cm

【解析】

如图1中，作于，设．在中，，，根据，可得，推出，推出．如图2中，当时，易证，此时的值最小，易知，当旋转角为时，与重合，易知，观察图象可知，在从到的变化过程中，点相应移动的路径长，由此即可解决问题．

解：如图1中，作HM⊥BC于M，设HM＝a，则CM＝HM＝a．

在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝12，

在Rt△BHM中，BH＝2HM＝2a，BM＝a，

∵BM+FM＝BC，

∴a+a＝12，

∴a＝6﹣6，

∴BH＝2a＝12﹣12．

如图2中，当DG⊥AB时，易证GH1⊥DF，此时BH1的值最小，易知BH1＝BK+KH1＝3+3，

∴HH1＝BH﹣BH1＝9﹣15，

当旋转角为60°时，F与H2重合，易知BH2＝6，

观察图象可知，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长＝2HH1+HH2＝18﹣30+[6﹣（12﹣12）]＝12﹣18．

故答案为（12﹣12）cm，（12﹣18）cm．