Question

5．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．则∠C=130度，∠D=80度．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形ABCD”（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
②在①的条件下，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=4，∠BCD=60°，求等对角四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=80°，根据多边形内角和定理求出∠C即可；
（2）①连接BD，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；
②连接AC，求出△ABC≌△ADC，求出∠ACB=∠ACD=30°，解直角三角形求出AC和BC，根据三角形的面积公式求出即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°-80°-80°-70°=130°，
故答案为：130，80；

（2）①证明：如图1，连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB．
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD；

②解：如图1，连接AC，
∵在△ABC和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABC=∠ADC}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC
∴∠ACB=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=AD=4，
∴AC=2AB=8，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=2S_△ABC=2×$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了含30°角的直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．