Question

（2012•重庆模拟）如图，已知反比例函数y=

k

x

的图象经过点A作AB⊥x轴于点B，∠AOB=45°，△AOB的面积为2，一次函数图象经过A点且与x轴交于C点，tan∠ACB=

1

3

．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．

Answer 1

分析：（1）由AB⊥x轴于点B，∠AOB=45°，得到三角形ABO为等腰直角三角形，可得出AB=BO，由此三角形面积为2，得到AB=OB=2，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式，由tan∠ACB及AB的值，利用锐角三角函数定义求出BC的长，由BC-OB求出OC的长，确定出C的坐标，设一次函数解析式为y=ax+b，将A与C坐标代入求出a与b的值，确定出一次函数解析式；
（2）三角形AOC的面积可由OC为底边，A的纵坐标为高来求出．

解答：解：（1）由题意得到△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=BO，
又∵S_△AOB=2，
∴

1

2

AB•BO=2，
∴AB=BO=2，
∴A（-2，2），
设反比例函数解析式为y=

k

x

，
将A坐标代入得：2=

k

-2

，即k=-4，
则反比例解析式为y=-

4

x

；
∵tan∠ACB=

AB

BC

=

1

3

，即

2

2+OC

=

1

3

，
∴OC=4，即C（4，0），
设一次函数解析式为y=ax+b，
将A与C坐标代入得：

-2a+b=2 4a+b=0

，
解得：

a=- 1 3 b= 4 3

，
故一次函数解析式为y=-

1

3

x+

4

3

；

（2）∵OC=4，A的纵坐标为2，
∴S_△AOC=

1

2

×4×2=4．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了待定系数法，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．