Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB的延长线交与点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC。
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）∠F=30°时，求的值？

Answer 1

解：（1）连接OE， ∵AE平分∠FAC， ∴∠CAE=∠OAE， 又∵OA=OE，∠OEA=∠OAE，∠CAE=∠OEA， ∴OE∥AC， ∴∠OEF=∠ACF， 又∵AC⊥EF， ∴∠OEF=∠ACF=90°， ∴OE⊥CF， 又∵点E在⊙O上， ∴CF是⊙O的切线；
（2）∵∠OEF=90°，∠F=30°， ∴OF=2OE， 又OA=OE， ∴AF=3OE， 又∵OE∥AC， ∴△OFE∽△AFC， ∴， ∴， ∴。