题目内容
如图，已知二次函数L1：y=x2-4x+3 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C。
（1）写出A 、B 两点的坐标；
（2）二次函数L2：y=kx2-4kx+3k （k ≠0 ），顶点为P。
①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k ，使△ABP 为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k 与抛物线L2 交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由。
（1）写出A 、B 两点的坐标；
（2）二次函数L2：y=kx2-4kx+3k （k ≠0 ），顶点为P。
①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k ，使△ABP 为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k 与抛物线L2 交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由。
| 解：（1 ）当y=0 时，x2-4x+3=0 ， ∴x1=1 ，x2=3 ； 即：A （1 ，0 ），B （3 ，0 ）； （2）①二次函数L2 与L1有关图象的两条相同的性质： （Ⅰ）对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标为2 ； （Ⅱ）都经过A （1 ，0 ），B （3 ，0 ）两点； ②存在实数k ，使△ABP 为等边三角形， ∵y=kx2-4kx+3k=k （x-2 ）2-k ， ∴顶点P （2，-k）， ∵A （1 ，0 ），B （3 ，0 ）， ∴AB=2 要使△ABP 为等边三角形，必满足|-k|=  ， ∴k=±  ； ③线段EF 的长度不会发生变化， ∵直线y=8k 与抛物线L2交于E 、F 两点， ∴kx2-4kx+3k=8k， ∵k ≠0 ， ∴x2-4x+3=8 ， ∴x1=-1 ，x2=5， ∴EF=x2-x1=6， ∴线段EF 的长度不会发生变化。 |
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