题目内容

设x，y为实数，满足x+y=1， $数学公式$ ，则x²+y²的值是________．

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分析：根据完全平方公式有（x²+y²）²=x⁴+y⁴+2x²y²，把x⁴+y⁴= $\text{[math]}$ ，且设x²+y²=t＞0，则t²=2x²y²+ $\text{[math]}$ ，再把x+y=1两边平方得到x²+2xy+y²=1，则xy= $\text{[math]}$ ，这样可得到关于t的一元二次方程t²=2•（ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，整理、解方程得到t₁=2，t₂=-4，然后根据x²+y²=t＞0检验即可得到x²+y²的值．
解答：∵（x²+y²）²=x⁴+y⁴+2x²y²，
而x⁴+y⁴= $\text{[math]}$ ，
设x²+y²=t＞0，
∴t²=2x²y²+ $\text{[math]}$ ，
又∵x+y=1，
∴（x，+y）²=x²+2xy+y²=1，
∴xy= $\text{[math]}$ ，
∴t²=2•（ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴t²+2t-8=0，即（t-2）（t+4）=0，
∴t₁=2，t₂=-4，
当t=-4时，x²+y²=-4无意义，
∴t=2，即x²+y²=2．
故答案为2．
点评：本题考查了完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²．也考查了利用因式分解法解一元二次方程以及换元法思想的运用．