Question

提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？

探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：

(1)当AP＝AD时(如图②)：

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S_△ABP＝S_△ABD．

∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S_△CDP＝S_△CDA．

∴S_△PBC＝S_{四边形ABCD}－S_△ABP－S_△CDP

＝S_{四边形ABCD}－S_△ABD－S_△CDA

＝S_{四边形ABCD}－(S_{四边形ABCD}－S_△DBC)－(S_{四边形ABCD}－S_△ABC)

＝S_△DBC＋S_△ABC．

(2)当AP＝AD时，探求S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系，写出求解过程；

(3)当AP＝AD时，S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系式为：________；

(4)一般地，当AP＝AD(n表示正整数)时，探求S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系，写出求解过程；

问题解决：当AP＝AD(0≤≤1)时，S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系式为：________．

Answer 1

答案：
解析：

解：⑵∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等， 　　∴S△ABP＝S△ABD． 　　又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等， 　　∴S△CDP＝S△CDA． 　　∴S△PBC＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP 　　＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA 　　＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC) 　　＝S△DBC＋S△ABC． 　　∴S△PBC＝S△DBC＋S△ABC．……………………………4分 　　⑶S△PBC＝S△DBC＋S△ABC；……………………………5分 　　⑷S△PBC＝S△DBC＋S△ABC； 　　∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等， 　　∴S△ABP＝S△ABD． 　　又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等， 　　∴S△CDP＝S△CDA． 　　∴S△PBC＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP 　　＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA 　　＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC) 　　＝S△DBC＋S△ABC． 　　∴S△PBC＝S△DBC＋S△ABC．……………………………8分 　　问题解决：S△PBC＝S△DBC＋S△ABC．……………………………10分